Brachistochrone krivulja: 18 koraka (sa slikama)

2024 Autor: John Day | [email protected]. Zadnja promjena: 2024-01-30 09:34

Brahistokronska krivulja klasičan je fizički problem koji izvodi najbrži put između dviju točaka A i B koje su na različitim nadmorskim visinama. Iako se ovaj problem može činiti jednostavnim, nudi kontra-intuitivan rezultat i stoga ga je fascinantno gledati. U ovim instrukcijama će se naučiti o teorijskom problemu, razviti rješenje i konačno izgraditi model koji demonstrira svojstva ovog zadivljujućeg principa fizike.

Ovaj je projekt namijenjen učenicima srednjih škola koji pokrivaju povezane koncepte na satovima teorije. Ovaj praktični projekt ne samo da jača njihovo razumijevanje teme, već nudi i sintezu nekoliko drugih područja za razvoj. Na primjer, dok grade model, studenti će učiti o optici kroz Snell -ov zakon, računalno programiranje, 3d modeliranje, digitalno fragiranje i osnovne vještine obrade drveta. To omogućuje cijelom razredu da doprinese podjeli posla među sobom, čineći to timskim radom. Vrijeme potrebno za izradu ovog projekta je oko tjedan dana, a zatim se može pokazati razredu ili mlađim učenicima.

Ne postoji bolji način učenja od STEM -a, pa nastavite s izradom vlastitog radnog brahistokronskog modela. Ako vam se projekt sviđa, glasajte za njega na natječaju za učionicu.

Korak 1: Teoretski problem

Problem brahistokrona je onaj koji se vrti oko pronalaska krivulje koja spaja dvije točke A i B koje su na različitim nadmorskim visinama, tako da B nije izravno ispod A, tako da će ispuštanje mramora pod utjecajem jednolikog gravitacijskog polja duž ove staze dosegnuti B u najbržem mogućem vremenu. Problem je postavio Johann Bernoulli 1696.

Kad je Johann Bernoulli, lipnja 1696., čitateljima časopisa Acta Eruditorum, koji je bio jedan od prvih znanstvenih časopisa u zemljama njemačkog govornog područja, postavio problem brahistokrona, dobio je odgovore od 5 matematičara: Isaac Newton, Jakob Bernoulli, Gottfried Leibniz, Ehrenfried Walther von Tschirnhaus i Guillaume de l'Hôpital svaki s jedinstvenim pristupom!

Upozorenje: sljedeći koraci sadrže odgovor i otkrivaju ljepotu ovog najbržeg puta. Odvojite trenutak da pokušate razmisliti o ovom problemu, možda biste ga mogli riješiti baš kao jedan od ovih pet genija.

Korak 2: Korištenje Snellovog zakona za demonstraciju

Jedan od pristupa rješavanju problema brahistokrona je rješavanje problema povlačenjem analogija sa Snellovim zakonom. Snellov zakon koristi se za opisivanje putanje koju bi snop svjetlosti slijedio kako bi prešao s jedne točke na drugu tijekom prijelaza kroz dva različita medija, koristeći Fermatovo načelo, koje kaže da će snop svjetlosti uvijek ići najbržim putem. Formalni izvod ove jednadžbe može se pronaći na sljedećoj poveznici.

Budući da se objekt koji slobodno pada pod utjecajem gravitacijskog polja može usporediti s snopom svjetlosti koji prolazi kroz promjenjivi medij, svaki put kad snop svjetlosti naiđe na novi medij, snop se lagano odstupi. Kut ovog odstupanja može se izračunati pomoću Snellovog zakona. Kako se nastavlja dodavati slojeve smanjene gustoće ispred odstupljenog snopa svjetlosti, sve dok snop ne dosegne kritični kut, gdje se snop jednostavno reflektira, putanja snopa opisuje brahistokronsku krivulju. (crvena krivulja na gornjem dijagramu)

Brahistokronska krivulja zapravo je cikloidna krivulja koja je praćena točkom na rubu kružnog kotača dok se kotač kotrlja po ravnoj liniji bez klizanja. Stoga, ako moramo nacrtati krivulju, možemo jednostavno upotrijebiti gornju metodu za njezino generiranje. Još jedno jedinstveno svojstvo krivulje je da će lopti oslobođenoj s bilo koje točke krivulje trebati isto toliko vremena da dosegne dno. Sljedeći koraci opisuju proces izrade razrednog eksperimenta konstrukcijom modela.

Korak 3: Model praktičnog eksperimenta

Model se sastoji od laserski izrezanih staza koje djeluju kao tragovi za klikere. Kako bismo pokazali da je brahistokronska krivulja najbrži put od točke A do B, odlučili smo je usporediti s dvije druge staze. Kako bi mali broj ljudi intuitivno osjetio da je najkraći dio najbrži, odlučili smo staviti ravnu padinu koja povezuje obje točke kao drugu stazu. Treća je strma krivulja, jer bi se moglo osjetiti da bi iznenadni pad generirao dovoljno brzine da nadmaši ostale.

Drugi eksperiment u kojem se loptice oslobađaju s različitih visina na tri brahistokronske staze rezultira istodobnim dosezanjem loptica. Tako naš model sadrži 3D tiskane vodiče koji omogućuju laku zamjenu između akrilnih ploča dopuštajući oba eksperimenta.

Konačno, mehanizam za oslobađanje osigurava da se kuglice spuste zajedno, a modul za mjerenje vremena na dnu bilježi mjerenje vremena kad loptice dosegnu dno. Da bismo to postigli, ugradili smo tri krajnja prekidača koji se aktiviraju kad ga kuglice aktiviraju.

Napomena: Ovaj dizajn možete jednostavno kopirati i napraviti od kartona ili drugih materijala koji su lako dostupni

Korak 4: Potrebni materijali

Ovdje su dijelovi i zalihe za izradu radnog modela eksperimenta s brahistokronom

HARDVER:

1 "Daska od borovog drveta - dimenzije; 100cm x 10cm

Neodimij Magnetx 4 - dimenzije; Promjer 1 cm i visina 0,5 cm

Filament za 3D ispis- PLA ili ABS su u redu

M3 umetci s navojem x 8 - (izborno)

M3 vijak x 8 - 2,5 cm duljine

Drveni vijak duljine 3 - 6 cm

Vijak za drvo duljine 12 - 2,5 cm

ELEKTRONIKA:

Arduino Uno

Granični prekidač 4- ovi prekidači će djelovati kao sustav mjerenja vremena

Pritisnite gumb

LCD zaslon

Jumpwire x mnogo

Ukupni trošak modela iznosio je oko 30 USD

Korak 5: 3D ispis

Nekoliko dijelova, poput mehanizma za otpuštanje i upravljačke kutije, napravljeno je uz pomoć 3D pisača. Sljedeći popis sadrži ukupan broj dijelova i specifikacije ispisa. Sve STL datoteke nalaze se u gore priloženoj mapi, što omogućuje da se po potrebi izvrše potrebne izmjene.

Upravljačka kutija x 1, ispuna 20%

Vodič x 6, ispuna 30%

Završni graničnik x 1, 20% ispune

Okretni krak x 1, ispuna 20%

Okretni nosač x 1, 30% ispune

Komad za otpuštanje x 1, 20% ispune

Dijelovi su tiskani u PLA -i jer na komade nema posebnog naprezanja. Ukupno je trebalo oko 40 sati ispisa.

Korak 6: Lasersko rezanje staza

Različiti putevi koje smo osmislili na fusion 360 izvezeni su kao.dxf datoteke, a zatim laserski izrezani. Za krivulje smo odabrali neprozirni bijeli akril debljine 3 mm. Može se čak napraviti i od drveta ručnim alatom, ali važno je osigurati da je odabrani materijal krut jer fleksibilnost može utjecati na to kako se kuglice kotrljaju.

6 x Brachistochrone krivulja

2 x Strma krivulja

2 x Ravna krivulja

Korak 7: Rezanje drva

Okvir modela izrađen je od drveta. Odabrali smo 1 "po 4" bor jer nam je preostalo nešto iz prethodnog projekta, iako se može koristiti drvo po njihovom izboru. Kružnom pilom i vodilicom izrezali smo dva komada drva duljine:

48 cm što je duljina staze

To je visina 31 cm

Očistili smo grube rubove laganim brušenjem na brusilici.

Korak 8: Bušenje rupa

Prije nego što spojite dva komada, označite debljinu drva na jednom kraju donjeg dijela i centrirajte tri jednako udaljene rupe. Koristili smo nastavak od 5 mm za izradu probne rupe na oba komada drveta i probušili rupu na donjem dijelu kako bismo omogućili da glava vijka bude u ravnini.

Napomena: Pazite da ne razdvojite okomiti komad drveta jer ćete bušiti u krajnje zrno. Također upotrijebite dugačke vijke za drvo jer je važno da se okvir ne tresne i gornji dio zbog poluge.

Korak 9: Ugradnja hladnjaka i magneta

Budući da se niti u 3D tiskanim dijelovima s vremenom troše, odlučili smo ugraditi hladnjake. Rupe su malo premale kako bi hladnjak bolje prianjao uz plastiku. Preko rupa smo postavili hladnjake M3 i gurnuli ih unutra vrhom lemilice. Toplina topi plastiku, dopuštajući zubima da se zaglave. Uvjerite se da su u ravnini s površinom i da su ušli okomito. Ukupno ima 8 mjesta za umetke s navojem: 4 za poklopac i 4 za postavljanje Arduino Uno.

Kako bismo olakšali montažu vremenske jedinice, ugradili smo magnete u kutiju, što olakšava odvajanje ako su ikada potrebne promjene. Magneti se trebaju orijentirati u istom smjeru prije nego što se gurnu na mjesto.s

Korak 10: Priključivanje graničnih sklopki

Tri krajnja prekidača pričvršćena su na jednu stranu vremenske jedinice koja gleda prema dnu staza. Tako, dok kuglice kliknu na prekidače, može se odrediti koja je lopta prva stigla i prikazati vrijeme na LCD zaslonu. Lemite male trake žice na stezaljke i učvrstite ih u utore mrljom CA ljepila jer se ne smiju olabaviti nakon neprekidnih udaraca.

Korak 11: LCD zaslon

Poklopac jedinice za mjerenje vremena ima pravokutni izrez za LCD zaslon i otvor za gumb "start". Zaslon smo učvrstili mrljama vrućeg ljepila dok se nije poravnao s površinom poklopca i učvrstili crveni gumb s pričvrsnom maticom.

Korak 12: Ožičenje elektronike

Ožičenje se sastoji od povezivanja različitih komponenti u desne pinove na Arduinu. Slijedite gornji dijagram ožičenja za postavljanje kutije.

Korak 13: Prijenos koda

Arduino kôd za brachistochrone projekt možete pronaći u privitku ispod. U odjeljku za elektroniku postoje dva otvora za lak pristup Arduinovu programskom priključku i priključku za napajanje.

Crveni gumb koji je pričvršćen na vrhu okvira koristi se za pokretanje mjerača vremena. Nakon što se klikeri spuste niz krivulje i aktiviraju granične sklopke, koje su postavljene pri dnu, vrijeme se uzastopno bilježi. Nakon što su sve tri loptice pogođene, LCD zaslon prikazuje rezultate, poravnane s odgovarajućim krivuljama (slike priložene gore). Nakon što zabilježite rezultate u slučaju da je potrebno drugo očitanje, jednostavno ponovno pritisnite glavni gumb za osvježavanje timera i ponovite isti postupak.

Korak 14: Vodiči za 3D ispis

Vodiči koji su 3D ispisani imali su materijalnu bazu od 3 mm prije početka nosećih zidova. Stoga bi, kad bi akrilne ploče kliznule na mjesto, postojao razmak između ploče i drvenog okvira, čime bi se smanjila postojanost puta.

Stoga je vodič trebao biti ugrađen za 3 mm u drvo. Kako nismo imali usmjerivač, odnijeli smo ga u lokalnu radionicu i obavili na glodalici. Nakon malo brušenja otisci su dobro prilijegali i mogli smo ih pričvrstiti sa strane drvenim vijcima. Gore je priložen predložak za postavljanje 6 vodilica na drveni okvir.

Korak 15: Dodavanje graničnika i jedinice za mjerenje vremena

Budući da je vremenski modul bio zaseban sustav, odlučili smo napraviti sustav za brzu montažu i odvajanje pomoću magneta. Na ovaj način može se jednostavno programirati, jednostavno izvaditi jedinicu. Umjesto da napravimo predložak za prijenos položaja magneta koji je potrebno umetnuti u drvo, jednostavno smo ih pustili da se spoje s onima na kutiji, a zatim stavili malo ljepila i stavili kutiju na komad drveta. Tragovi ljepila prenijeli su se na drvo, što nam je omogućilo da brzo izbušimo rupe na točnim mjestima. Na kraju pričvrstite 3D ispisani čep, a jedinica za mjerenje vremena trebala bi se čvrsto držati, ali se može odvojiti laganim povlačenjem

Korak 16: Mehanizam otpuštanja

Mehanizam otpuštanja je jednostavan. Pomoću matice i vijka čvrsto spojite C -dio s okretnom polugom, čineći ih jednim sigurnim dijelom. Zatim izbušite dvije rupe u sredini okomitog drva i pričvrstite nosač. Gurnite okretnu osovinu i mehanizam je gotov.

Korak 17: Eksperiment

Sada kada je model spreman, možete napraviti sljedeće pokuse

Eksperiment 1

Pažljivo gurnite akrilne ploče ravne staze, brahistokronske krivulje i strme staze (ovim redoslijedom za najbolji učinak). Zatim povucite zasun prema gore i postavite tri kugle na vrh zavoja pazeći da su savršeno poravnane jedna s drugom. Čvrsto ih držite sa zasunom prema dolje. Neka jedan učenik pusti loptice, a drugi pritisne crvenu tipku za pokretanje mjerenja vremena. Na kraju promatrajte kako se loptice kotrljaju niz stazu i analizirajte rezultate prikazane na modulu za mjerenje vremena. Postavljanje kamere za snimanje usporenih snimaka još je uzbudljivije jer se može vidjeti utrka po kadar.

Eksperiment 2

Kao i prethodni pokusni klizač u akrilnim pločama, ali ovaj put sve staze moraju biti brachistonchrone krivulja. Pažljivo zamolite učenika da ovaj put drži tri loptice na različitim nadmorskim visinama i pritisne crveno dugme dok se loptice oslobađaju. Gledajte zapanjujući trenutak dok se loptice savršeno slažu prije cilja i potvrdite zapažanja rezultatima.

Korak 18: Zaključak

Izrada modela brahistokrona praktičan je način da se sagledaju čarobni načini na koje znanost funkcionira. Ne samo da je eksperimente zabavno gledati i privući, već nudi i sintezu aspekata učenja. Iako je prvenstveno projekt namijenjen srednjoškolcima, i praktično i teoretski, ovu demonstraciju lako može shvatiti mlađa djeca i mogla bi ga prikazati kao pojednostavljenu prezentaciju.

Željeli bismo potaknuti ljude na stvaranje stvari, bilo uspjeh ili neuspjeh, jer na kraju dana STEM je uvijek zabavan! Sretno u izradi!

Ispustite glasovanje na natječaju za učionicu ako vam se svidjelo uputstvo i ostavite svoje povratne informacije u odjeljku za komentare.

Velika nagrada na natječaju za učionicu